Stehende Wellen akustische Resonanz Saite Saiten Schalldruck Raummoden Moden bei schallharten parallelen Wänden Schwingungsknoten Knoten Bauch Reflexion Reflektion Welle Raumeigenmoden akustische Resonanz Flöten Orgel - sengpielaudio
 
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● 1. Stehende Wellen (akustische Resonanz) bei idealen Saiten 

Eine stehende Welle ist der Schwingungszustand eines zusammenhängenden Systems. Als
Musterbeispiel wird dafür üblicherweise die schwingende Saite eines Musikinstruments oder die
Luftsäule in einer Orgelpfeife genommen. Diese Wellen haben zwar ein wellenartiges Aussehen,
bewegen sich aber nirgendwohin; d. h. sie schwingen zeitlich aber nicht örtlich – sie sind ortsfest.
Die Saite ist mit einer Länge L zwischen zwei festen Enden eingespannt, an denen sich immer
ein
Schwingungsknoten befindet. Zwischen diesen zwei Knoten (Nulldurchgang) ergibt sich ein
Maximum, das auch
Schwingungsbauch oder Wellenbauch genannt wird. Dargestellt sind hier die
Eigenschwingungen einer idealisierten Saite, die als perfekt gleichmäßig und vollständig
biegsam angenommen werden, d. h., sie setzen einer Biegung keinerlei Schwingungswiderstand
entgegen.
Es wird keinerlei Dämpfung durch innere Reibung angenommen, wobei die Steifigkeit Null ist.
Die Frequenzen der Eigenschwingungen bilden eine harmonische Teiltonreihe. Diese
Teiltöne
werden auch Harmonische oder Partialtöne genannt. L = Länge der Saite,
c = Schallgeschwindigkeit. Die 1. Harmonische ist die Grundwelle.
 
Harmonic 1
1. Harm.   L = λ/2 = π        f1 = c / (2·L)
       Harmonic 2
2. Harm.   L = λ        f2 = 2·f1 = c / L
 
Harmonic 3
3. Harm.   L = 3 λ / 2       f3 = 3·f1 = 3·c / (2·L)
       Harmonic 4
4. Harm.   L = 2 λ        f4 = 4·f1 = 4·c / (2·L)
 
Aha!  Merke: Der Abstand zwischen zwei Knoten (nodes) oder zwei Bäuchen
 (antinodes) ist
λ/2. Der Abstand zwischen einem Knoten (Nulldurchgang)
 und einem Bauch (Maximum) ist λ/4.
 
 
Zur Beachtung, denn es gibt häufig Verwirrung:
Ein
Bauch beim Schallwechseldruck (pressure antinode) ist zur
gleichen Zeit (!) ein
Knoten bei der Auslenkung der Luftteilchen
(particle displacement node).
Meistens wird vergessen, dem Betrachter der Abbildungen mitzuteilen,
worum es sich handelt: um den Schallwechseldruck oder um die
Bewegung der Auslenkung der Luftteilchen. Das ist ein Unterschied.

 

2. Stehende Wellen (akustische Resonanz) bei Rohren (Flöten)

Offenes Rohr
 1. Harm.   L = λ / 2 = π     f1 = c / (2 · L)




 2. Harm.   L = λ                  f2 = 2 · f1 = c / L




 3. Harm.   L = 3 λ / 2          f3 = 3 · f1 = 3 c / (2 · L



 Offenes Rohr
 
Eigenschwingungen einer Luftsäule in einem offenen Rohr (Röhre, Flöte).
Am offenen Ende muss theoretisch jeweils ein Schalldruck-Knoten liegen,
wenn man die Endkorrektur außer Acht lässt.
 
Begründung: Am Rohrende wird die Druckwelle wegen des unendlichen
Querschnittssprungs des Rohrs nahezu vollständig reflektiert (schallweicher
Rohrabschluss und 180°-Phasendrehung der reflektierten Welle).
Dabei ist der Schalldruck gleich Null (Druckknoten), weil die Impedanz am
Rohrende gleich Null ist (kein Widerstand, aber Reflexion).
 
Geschlossenes Rohr
 1. Harm.   L = λ / 4 = π  · 1 / 4     f1 = c / (4 · L)




 3. Harm.   L = 3 λ / 4                   f3 = 3 · f1 = 3 c / (4 · L




 5. Harm.   L = 5 λ / 4                   f5 = 5 · f1 = 5 c / (4 · L



 Links einseitig geschlossenes Rohr
 
Eigenschwingungen einer Luftsäule in einer einseitig geschlossenen Röhre (Flöte);
auch gedackte Pfeife. Am geschlossenen Ende muss theoretisch jeweils ein
Maximum (Schalldruckbauch) liegen.

Es gibt Missverständnisse bei Wellen in der Luft, weil sinusförmigen Signale die
Knoten und die Bäuche der Schallauslenkung, der Partikelgeschwindigkeit des
Schalls, vom Schalldruck oder von der Schalldichte sein können. Tontechniker mit
Mikrofonen sind allein am Verhalten des Schallwechseldrucks in der Luft interessiert.
Merke: Ein Knoten beim Schalldruck entspricht einem Bauch der Schallauslenkung!

3. Raummoden (Stehende Wellen) bei schallharten parallelen Wänden

Wo stelle ich meine Lautsprecher hin? Wo ist der beste Abhörplatz? Wohin mit der akustischen Dämpfung?
Folgende Grundlagen zur Akustik der Schallwellen bei tiefen Frequenzen in Räumen sollte man dazu kennen.
Das gilt für den Aufnahmeraum genauso wie für den Wiedergaberaum = Regieraum oder das Wohnzimmer; siehe:

Raummoden und Saitenschwingungen

Die Raumresonanzen, die sich zwischen den Begrenzungsflächen eines Raumes bilden,
nennt man "stehende Wellen" oder Raumeigenmoden, auch kurz Moden. Sie entstehen,
wenn ein Vielfaches der halben Wellenlänge (
λ/2) zwischen die Begrenzungsflächen
eines Raums passt. Voraussetzung für eine Raummode ist eine stehende Welle.
Uns Tontechniker interessiert das Verhalten des Schalldrucks, weil durch seine
Wirkung unsere Trommelfelle und die Mikrofonmembranen bewegt werden; siehe:

Die Wirkung und die Ursache.
Raummoden sind nichts anderes als stehende Wellen, die sich in jedem Raum bei tiefen
Frequenzen ausbilden. Nicht-parallele Wände sind kein Mittel dagegen.
 
Stehende Welle

Eine stehende Welle als Schalldruckverteilung; hier:
3. Harmonische (2. Oberschwingung)
− 3 Knoten und 4 Bäuche

Raummoden (Eigenschwingungen) als Schalldruckverteilung

Der Fachbegriff heißt eine Mode, also die Mode und der Plural sind mehrere Moden. Vergiss also Modus und Modi.

Berechnen der drei Moden (Raummoden) - Raumresonanzen von Rechteck-Räumen

Aha! Merke: Praktisch sind Raummoden nur als tiefe Schalldruck-Frequenzen
unterhalb von 300 Hz störend hörbar. Höhere modale Frequenzen verlieren
an Bedeutung, denn ihre Störwirkung wird durch andere raumakustische
Effekte überdeckt, weil die modale Dichte so hoch wird, dass keine selektive
Modenhäufungen mehr auftreten, die sich als störende Klangfärbung
bemerkbar machen.

An harten Wänden bilden sich bei den Moden immer Schalldruckmaxima aus -
das sind Wellenbäuche bzw. Schallauslenkungs-Minima. - "Lose Enden".

Mit folgender Formel lassen sich stehende Wellen, also Raumresonanzen (Moden),
die zwischen den schallharten Begrenzungsflächen eines Rechteck-Raums (genauer:
quaderförmig) entstehen, in ihrer Frequenz bestimmen.

 
Formel Raummoden 1
Hierbei ist:
f = Frequenz der Mode in Hz
c = Schallgeschwindigkeit 343 m/s bei 20 °C
nx = Ordnungszahlen der Eigenschwingungen (Raumlänge) (1, 2, 3, ...)
ny = Ordnungszahlen der Eigenschwingungen (Raumbreite) (1, 2, 3, ...)
nz = Ordnungszahlen der Eigenschwingungen (Raumhöhe) (1, 2, 3, ...)
L, B, H = Länge, Breite und Höhe des Raums in Meter

 
An einer schallharten reflektierenden Wand (Grenzfläche) ist der Schallabsorptionsgrad
α = 0

Eine stehende Welle 1. Ordnung mit der Grundschwingung = f1 entsteht, wenn die halbe
Wellenlänge der Erregerschwingung genau in den Abstand der harten Begrenzungs-
flächen passt. Für die axiale Mode gilt dabei als tiefste Frequenz
:
 
f1 = c / (2 · L)
Hierbei ist:
c = Schallgeschwindigkeit (343 m/s bei 20 °C)
f1 = Grundfrequenz der axialen Mode in Hz
L = maximaler Abstand der Begrenzungsflächen in Meter.
 
Die stehenden Wellen höherer Ordnung berechnen sich aus den ganzzahligen Vielfachen
der Mode 1. Ordnung.

f2 = 2 · f1
f3 = 3 · f1
f4 = 4 · f1
 
 
Raummoden 2  
Bäuche
Druckmaximum
Knoten
Nulldurchgang
Wellenlänge Frequenz Harmonische Oberschwingungen
2 1 λ = 2 · L f1 = 1 · c / (2 · L) 1. Harmonische Grundschwingung
           
3 2 λ = L f1 = 2 · c / (2 · L) 2. Harmonische 1. Oberschwingung
           
4 3 λ = (2 · L) / 3 f1 = 3 · c / (2 · L) 3. Harmonische 2. Oberschwingung
           
k + 1 k λ = (2 · L) / k f1 = k · c / (2 · L) k. Harmonische (k − 1). Oberschwingung
 
k = 1, 2, 3, ...
 
Der Schallwechseldruck ist in Wirklichkeit eine Longitudinalwelle a),
im Gegensatz zur hier besser darstellbaren Transversalwelle b).
 
Longitudinalwelle Transversalwelle

Stehende Welle als Schalldruckverteilung zwischen
den Wänden. Eine Welle mit offenen Enden.

Standing Waves 1
1. Harm.   L = λ / 2 = π        f1 = c / (2·L)
       Harmonic 2
2. Harm.   L = λ        f2 = 2·f1 = c / L

Harmonic 3
3. Harm.   L = 3 λ / 2      f3 = 3·f1 = 3·c / (2·L)
       Harmonic 4
4. Harm.   L = 2 λ        f4 = 4·f1 = 4·c / (2·L)

Hier wird der Schallwechseldruck einer Sinusschwingung und ihren Harmonischen
zwischen zwei total schallreflektierenden, d. h. schallharten Wänden dargestellt.
Wichtig ist, dass sich im Resonanzfall an den Wänden immer ein
Schalldruckmaximum (Schalldruckbauch) befindet.

In vielen Darstellungen wird hierbei unrichtig die Abbildung der Saitenschwingung
verwendet, die an jedem Ende immer einen festen Knoten hat, wie z. B. hier:

 
Das sind keine Darstellungen
von Schalldruckschwingungen 
zwischen zwei Wänden in
einem kleinen Raum ...
... sondern das sind Saiten-
schwingungen (Amplituden).
Falsche Raummoden  Eine typische
 Falschdarstellung mit
 Knoten an den Wänden. 
 Die Darstellung der 
 Schallauslenkung
 war nicht gewünscht.
 
Eine Saite ist zwischen zwei "festen Enden" eingespannt. An den Enden erscheint ein Wellenknoten.
Eine Welle zwischen zwei harten Wänden wird beim Schalldruck mit "losen Enden" betrachtet.
Daher erscheint als Schalldruck an den Wandseiten ein Wellenmaximum bzw. ein Wellenbauch.

Siehe hierzu unrichtig: Stehende Welle - Wikipedia und Raummode - Wikipedia
Hier ist es richtig: From Wikibooks, the open-content textbooks collection

Stehende Wellen
 
Räumliche Verteilung vonSchalldruckbetrag p (rot) und Schallschnelle v (blau) bei einer
stehenden Welle als totale Reflexion an einer schallharten Wand (schematisiert).
Im Abstand von
λ / 4 von der Wand ist der Schalldruck p = 0.
Da die Absorptionswirkung in einem Material proportional zur Schallschnelle ansteigt,
sollte sich der Absorber wirkungsvoll im Schnelle-Maximum
d/4 als Wandabstand
befinden oder sollte eine entsprechende Dicke haben. Viel einfacher als das
Schnellemaximum ist das Schalldruck-Minimum messbar, das genau an der Stelle des
Schnelle-Maximums bei λ/4 liegt.
 
Hier ist eine schöne Animation einer stehenden Welle - Erklärung durch
Überlagerung der hinlaufenden mit der reflektierten Welle. Dazu muss
man einstellen: "Reflexion am losen Ende".

http://www.walter-fendt.de/ph14d/stwellerefl.htm

Stehende Welle
 
Die rote Welle ist die einfallende Schallwelle, die grüne ist die zurückreflektierte
Schallwelle. Die blaue ist die stehende Welle, die sich durch die Überlagerung
beider Wellen ergibt. Voraussetzung für eine Raummode ist eine stehende Welle,
jedoch sind stehende Wellen im Allgemeinen keine Raummoden. Diese beiden
Begriffe werden üblicherweise nicht ganz korrekt als gleichbedeutend dargestellt.

Aha!
Fazit:
Die Schwingungen des Schalldrucks zwischen parallelen
harten Wänden - also stehenden Wellen bzw. Raummoden -
sehen anders aus als die Schwingungen von Saiten.
Während die Schwingung im ersten Fall "lose Enden"
(Wellenbäuche) aufweist, hat sie im Falle der Saite "feste
Enden" (Wellenknoten).


Merke:
An reflektierenden Wänden (Grenzflächen) finden wir dabei
immer den maximalen Schalldruck, also einen Wellenbauch.
Das ist auch das Prinzip der
Grenzflächenmikrofone.

Zwei verschiedene Grenzflächenmikrofon-Bauarten

Untere Grenzfrequenz beim Grenzflächenmikrofon

Stehende Wellen auch bei offenen und gedackten Orgelpfeifen

Gegenüberstellung der Reflexionen im Hallraum
und einem extrem stark gedämpften Raum

Raummoden im Hallraum

Schalldruckreflexionen (Moden) an schallharten Wänden, wie in einem Hallraum.

Raummoden im reflexionsarmen Raum

Schalldruckreflexionen (Moden) an schallweichen Wänden, wie in einem reflexionsarmen Raum.

Raummoden im reflexionsarmen Raum
 
Räumliche Verteilung von Schalldruck p (rot) und Schallschnelle v (blau) in einer
stehenden Welle bei totaler Reflexion an einer schallweichen Wand (schematisiert).
Im Abstand von
λ / 4 von der Wand ist der Schalldruck p = max.
 
Ein Raum
 
Ein typischer Raum (Regieraum) mit Axial-Moden und Schalldruckbäuchen an den Wänden
 
Was sind Raummoden? - Richtig dargestellt − Trikustik®
 
Das Bild links zeigt dort die Schwingungen einer Saite mit außen liegenden Knoten.
Das Bild rechts zeigt dort die tatsächliche Schalldruckverteilung an den Wänden.   weiter

 
Dieses ist nur für 2D definiert, was üblicherweise genügt. Unter bestimmten
Annahmen und Rundungen lassen sich ähnliche Aussagen jedoch auch für 3D treffen.

Berechnen der drei Moden (Raummoden) - Raumresonanzen von Räumen

Rechner für die Raumeigenmoden − Trikustik®
Für rechteckige Räume ermittelt dieser Rechner die Raumeigenmoden mit den
20 niedrigsten Eigenfrequenzen und stellt sie in aufsteigender Reihenfolge dar.

Der Druckkammer-Effekt

Auch unterhalb der tiefstmöglichen Raummode sind tieffrequente Töne wiederzugeben.
Man nutzt den
Druckkammereffekt bei kleinen mit schallharten Begrenzungsflächen
ausgestatteten Räumen, wobei der Raum druckdicht verschlossen sein muss.
Siehe:
Grundlagen der Raumakustik. Die "dB Drag Racing" Fans brauchen das für ihre
Lautstärke-Wettbewerbe im Auto.
 
RPG-Triffusor
 
RPG Triffusor
 
Absorption - Reflexion - Diffusität - Kombination
 
Auslenkung Schalldruck Bauch Knoten
 
Achtung: An einer harten Reflexionswand (closed end) gibt es einen
Schalldruckbauch (pressure antinode) aber zur gleichen Zeit einen
Auslenkungsknoten der Luftteilchen (particle displacement node).
Wenn man von stehenden Wellen spricht, muss deutlich ausdrückt
werden, dass wir Amplituden der Schalldruckveränderungen
meinen, die auch unsere Trommelfelle bewegen. Meistens wird das
vergessen. Der Schallwechseldruck in Luft schwingt mit Bauch und
Knoten - gleichzeitig schwingt die Auslenkbewegung der Luftteilchen
mit Knoten und Bauch.

Die Beziehung zwischen dem maximalen Schallwechseldruck Δ pm
und der maximalen Auslenkamplitude der Luftpartikel
ξm is:
Δ pm = (v ρ ω) ξm.
 
Amplituden der Schallfeldgrößen einer ebenen Welle
 
Unterscheide die Amplituden von Schallauslenkung der Luftteilchen,
Schalldruck, Schallschnelle und Druckgradient.
Schalldruckbauch (sound pressure antinode) ist Auslenkungsknoten
der Bewegung der Luftteilchen (particle displacement node).
Auslenkungsbauch der Luftteilchenbewegung ist Schalldruckknoten.
 
Luftteilchen
 
Im Ruhezustand hat ein grünes Luftteilchen die gleiche Lage wie im
schwingenden Zustand. Die Schallauslenkung der Luftteilchen befindet
sich dabei im Nulldurchgang während die Schalldruckamplitude
p
dabei ein Maximum (Überdruck, Verdichtung) oder ein Minimum
(Unterdruck, Verdünnung) zeigt. Im Ruhezustand ist ein rotes
Luftteilchen im Maximum oder Minimum der Amplitude der
Schallauslenkung und gleichzeitig ist das ein Nulldurchgang der
Schalldruckschwingung. Somit ist dort der Schallwechseldruck Null;
d. h. der normale statische Luftdruck ist allein vorhanden.
 
Vermeide das Wort "Ausschlag", was scherzhaft mit "Schall-Akne"
bezeichnet wird. Auslenkung der Luftteilchen klingt besser.
 
Luftteilchen
 
In bildlichen Darstellungen von stehenden Wellen (Raummoden) zwischen
zwei Wänden wird selten angegeben, ob der Schalldruck als Druckschwankung in der Luft
oder die Auslenkung der Luftpartikel dargestellt sein soll.
Diese Klärung ist jedoch unbedingt notwendig.
Bei obiger Abbildung erkennt man den wichtigen Unterschied.
Links = Schalldruck (Bauch) entspricht rechts = Auslenkung (Knoten).
 
Zum Nachdenken: Die Auswirkung stehender Wellen meldet uns unser
Gehör, und der Schalldruck bewegt wirkungsvoll unsere Trommelfelle.
 
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